MATEMATICA ADMINISTRATIVA

ANALISIS COMBINATORIO

La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones y agrupaciones de los elementos. Sus aplicaciones son enormes, sobre todo en la informática, la estadística y el cálculo de probabilidades. En la vida cotidiana tenemos numerosos ejemplos de aplicación.

Tengo que organizar un evento en el que habrá una comida con comensales en varias mesas, ¿cuántas formas distintas tengo de distribuirlas?

Estoy decorando la casa y en mueble tengo un espacio para tres figuras y tengo diez distintas, ¿cuántas posibilidades tengo si influye el orden de colocación?

La Lotería Primitiva consiste en elegir 6 números elegidos desde el 1 al 49, ¿qué probabilidades tengo de acertar?

Factorial del un número:

Es el producto de los $n$ factores consecutivos desde $n$ hasta $1$ . El factorial de un número se denota por $n!$ .

Variaciones

Se llama variaciones ordinarias de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$ $(m\geq n)$ a los distintos grupos formados por $n$ elementos de forma que:

No entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

$\textrm{V}_{m}^{n}=m(m-1)(m-2)(m-3)...(m-n+1)$

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Las variaciones se denotan por $\textrm{V}_{m}^{n}\; \textup{o}\; \textrm{V}_{m,n}$

Ejemplo:

¿Cuántos números de tres cifras (todas distintas) se pueden formar con los números $1, 2, 3, 4, 5$ ?

No entran todos los elementos. Sólo tomaremos tres de los cinco números.
Sí importa el orden. No es lo mismo $123$ que $231$ .
No se repiten los elementos. Una vez que tomamos un número este queda fuera de nuestras siguientes opciones, esto sucede ya que todas las cifras deben de ser distintas.

Entonces nos encontramos con variaciones de $5$ elementos tomados de $3$ en $3$ , esto es, $m = 5$ y $n = 3$ , por lo tanto la cantidad de números de podemos formar es:

Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$ a los distintos grupos formados por $n$ elementos de manera que:

No entran todos los elementos si $m> n$ . Sí pueden entrar todos los elementos si $m\leq n$

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

$\textup{VR}^{n}_{m}=m^{n}$

Ejemplo:

¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurar el acierto de los $15$ resultados?

Primero entendamos qué es una quiniela. En la quiniela se tiene una columna en donde hay $15$ juegos, cada juego tiene $3$ posibles resultados, que gane el equipo de la izquierda, que gane el equipo de la derecha o que haya empate. Notemos que entonces estamos tratando con variaciones con repetición en donde $m = 3$ , $n = 15$ y $m > n$ . Además, veamos que:

Entran todos los elementos.
Sí importa el orden. No es lo mismo que gane el equipo de la izquierda a que gane el de la derecha.
Sí se repiten los elementos. Es claro que es posible que en dos juegos distintos los respectivos equipos empaten, o que ganen los de la derecha o izquierda.

Así, tenemos que las quinielas a rellenar son

Permutaciones:

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Permutaciones circulares

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Permutaciones con repetición:

Permutaciones con repetición de $n$ elementos donde el primer elemento se repite $a$ veces , el segundo $b$ veces , el tercero $c$ veces,... de tal modo que $(n=a+b+c+...)$ , son los distintos grupos que pueden formarse con esos $n$ elementos de forma que :

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Combinaciones:

Se llama combinaciones de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$ $(m\geq n)$ a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los $m$ elementos de forma que:

No entran todos los elementos

No importa el orden

No se repiten los elementos

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$ $(m\geq n)$ , son los distintos grupos formados por $n$ elementos de manera que:

No entran todos los elementos

No importa el orden

Sí se repiten los elementos