MATEMATICA ADMINISTRATIVA

Distribuciones de probabilidades

Es el conjunto de valores distribuido de acuerdo con la teoría de las probabilidades y se consideran discretas cuando la variable aleatoria solo toma calores enteros

Teorema del binomio

El álgebra es una rama de la matemática a través de la cual se pueden representar operaciones aritméticas utilizando números, letras y signos, y utilizando determinadas leyes y reglas para poder dar solución a cada una, según el respectivo caso. Una de las estructuras que comúnmente se estudian con el álgebra, son los binomios.

Este término dentro de la matemática, hace referencia a una expresión algebraica que tiene una estructura compuesta por dos términos o monomios. Cada uno de estos se encuentran identificados como los valores ubicados entre una sumo o una resta. Además, se construyen de distintas maneras: puede contener una variable y una constante, o también puede componerse de dos variables.

Ejemplo:

Expande el binomio ${{(x+y)}^4}$ usando combinatorias.

Solución: Esto puede ser expandido de la siguiente manera:

$=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 0 \end{array}} \right){{x}^{4}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 1 \end{array}} \right){{x}^{3}}y+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \end{array}} \right){{x}^{2}}{{y}^{2}}$ $+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 3 \end{array}} \right)x{{y}^{3}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 4 \end{array}} \right){{y}^{4}}$

Recordamos que tanto $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 0 \end{array}} \right)$ como $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 4 \end{array}} \right)$ son equivalentes a 1 ya que sólo hay una forma de escoger 0 y 4 elementos de un conjunto de 4 elementos. Entonces, tenemos:

$={{x}^{4}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 1 \end{array}} \right){{x}^{3}}y+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \end{array}} \right){{x}^{2}}{{y}^{2}}$ $+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 3 \end{array}} \right)x{{y}^{3}}+{{y}^{4}}$

Ahora evaluamos cada una de las combinatorias restantes:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 1 \end{array}} \right)=\frac{{4!}}{{1!\left( {4-1} \right)!}}=\frac{{4!}}{{1!\left( 3 \right)!}}=4$

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \end{array}} \right)=\frac{{4!}}{{2!\left( {4-2} \right)!}}=\frac{{4!}}{{2!\left( 2 \right)!}}=6$

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 3 \end{array}} \right)=\frac{{4!}}{{3!\left( {4-3} \right)!}}=\frac{{4!}}{{3!\left( 1 \right)!}}=4$

Al sustituir estos números en la expresión, tenemos:

${{x}^4}+4{{x}^3}y+6{{x}^2}{{y}^2}+4x{{y}^3}+{{y}^4}$

2. Expande el binomio ${{(x+y)}^5}$ usando el triángulo de Pascal.

Solución: Podemos observar que la fila 5 del triángulo de Pascal es 1, 5, 10, 10, 5, 1. Usando estos números para la expansión binomial, tenemos:

${{(x+y)}^5}={{x}^5}+5{{x}^4}y+10{{x}^3}{{y}^2}$ $+10{{x}^2}{{y}^3}+5x{{y}^4}+{{y}^5}$

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria.

Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de una moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.

Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria.

Propiedades de la distribución binomial

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:

En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara son constantes.
La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.
La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.

Formula de la distribución binomial

La fórmula para calcular la distribución normal es:

Donde:

n = Número de ensayos/experimentos

x = Número de éxitos

p = Probabilidad de éxito

q = Probabilidad de fracaso (1-p)

Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula: