MATRIZ INVERSA (2x2 y 3x3)

La matriz inversa es un tipo especial de matriz para la solución de problemas que pueden representarse con sistemas de ecuaciones lineales. Para determinar la matriz inversa de una matriz $A$ , ésta debe ser una matriz cuadrada.
La matriz resultante $\displaystyle I$ del producto de las matrices A y B, es una matriz identidad del mismo orden que A y B ( $\displaystyle nxn)$ . En este caso, la matriz $\displaystyle B$ se considera como la matriz inversa de $\displaystyle A$ y se denota $\displaystyle A^{-1}$ . Si la operación anterior no se cumple, la matriz $A$ se llamará matriz singular o matriz no invertible.

Método de Gauss-Jordan.

En éste método se utilizan transformaciones elementales por renglones para generar una nueva matriz compuesta por la matriz $\displaystyle A$ a invertir y una matriz identidad $\displaystyle I$ del mismo orden.

La nueva matriz se llama Matriz Aumentada y a ésta se le aplican las transformaciones elementales por renglón para encontrar la matriz inversa.

Para una matriz $\displaystyle A_{( nxn)}$ , se genera su matriz aumentada $\displaystyle ( A_{nxn} |\ I_{nxn})$ y mediante transformaciones elementales por renglón se debe encontrar la matriz aumentada $\displaystyle ( I_{nxn} |\ B_{nxn})$ , donde la matriz $\displaystyle B_{nxn}$ será la matriz inversa de $\displaystyle A$ , es decir, $\displaystyle A^{-1}$ .

Transformaciones elementales por fila de una matriz

La transformaciones elementales son:

Multiplicar o dividir una fila por un número k diferente de cero.
Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.
Intercambiar dos filas

Matriz Inversa 2x2

Dada una matriz $A$ $A$ cuadrada de dimensión $n x n$ $n x n$ $n x n$ $n x n$ y regular, definimos la matriz por bloques formada por la matriz $A$ $A$ y la matriz $I_{n}$ $I_{n}$ $I_{n}$ (matriz identidad de dimensión $n x n$ $n x n$ $n x n$ $n x n$ ):