DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL
Relaciones entre problemas primales y duales
Cada uno de los problemas abordados hasta entonces en los módulos anteriores se consideran problemas primales, dado que tienen una relación directa con la necesidad del planteamiento, y sus resultados responden a la formulación del problema original; sin embargo, cada vez que se plantea y resuelve un problema lineal, existe otro problema ínsitamente planteado y que puede ser resuelto, es el considerado problema dual, el cual tiene unas importantes relaciones y propiedades respecto al problema primal que pueden ser de gran beneficio para la toma de decisiones.
Los problemas primales y duales se encuentran ligados por una serie de relaciones, saber la existencia de estas puede ser considerado de gran utilidad para la resolución de problemas que parecen no factibles, o que no pueden ser resueltos mediante un método en particular.
- El número de variables que presenta el problema dual se ve determinado por el número de restricciones que presenta el problema primal.
- El número de restricciones que presenta el problema dual se ve determinado por el número de variables que presenta el problema primal
- Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a los términos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro lado de las variables.
- Los términos independientes de las restricciones (RHS) en el problema dual corresponden a los coeficientes de la función objetivo en el problema primal
- La matriz que determina los coeficientes técnicos de cada variable en cada restricción corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes técnicos del problema primal
El sentido de las igualdades y desigualdades se comporta según la tabla de Tucker, presentada a continuación:
- El número de variables que presenta el problema dual se ve determinado por el número de restricciones que presenta el problema primal.
- El número de restricciones que presenta el problema dual se ve determinado por el número de variables que presenta el problema primal
- Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a los términos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro lado de las variables.
- Los términos independientes de las restricciones (RHS) en el problema dual corresponden a los coeficientes de la función objetivo en el problema primal
- La matriz que determina los coeficientes técnicos de cada variable en cada restricción corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes técnicos del problema primal
Importancia de la dualidad en programación lineal
La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada la facilidad que se presenta dados problemas donde el número de restricciones supere al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis económico del problema.
Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables.
La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada la facilidad que se presenta dados problemas donde el número de restricciones supere al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis económico del problema.
Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables.
Solución de un problema dual, paso a paso
El siguiente problema a resolver es hasta el momento el modelo más completo de los resueltos en los módulos anteriores, dado que trataremos de resolver un problema primal y su dual mediante Método Simplex utilizando variables de holgura, exceso y artificiales; además resolveremos el primal utilizando Simplex maximizando y el dual minimizando.
Dado el siguiente modelo primal:
Función objetivo
ZMAX = 40X1 + 18X2
Restricciones
16X1 + 2X2 ≤ 700
6X1 + 3X2 ≤ 612
X1 ≤ 80
X2 ≤ 120
Cuya respuesta es:
X1 = 28,75
X2 = 120
S1 = 79.5
S3 = 51.25
Función objetivo = 3310
El siguiente problema a resolver es hasta el momento el modelo más completo de los resueltos en los módulos anteriores, dado que trataremos de resolver un problema primal y su dual mediante Método Simplex utilizando variables de holgura, exceso y artificiales; además resolveremos el primal utilizando Simplex maximizando y el dual minimizando.
Dado el siguiente modelo primal:
Función objetivo
ZMAX = 40X1 + 18X2
Restricciones
16X1 + 2X2 ≤ 700
6X1 + 3X2 ≤ 612
X1 ≤ 80
X2 ≤ 120
Cuya respuesta es:
X1 = 28,75
X2 = 120
S1 = 79.5
S3 = 51.25
Función objetivo = 3310
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