NOTACION MATRICIAL:

Consiste en un arreglo rectangular de elementos representados por un solo símbolo.

Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Los elementos individuales de una matriz ${\displaystyle m}$ x ${\displaystyle n}$, se denotan a menudo por ${\displaystyle a_{ij}}$, donde el máximo valor de ${\displaystyle i}$ es ${\displaystyle m}$, y el máximo valor de ${\displaystyle j}$ es ${\displaystyle n}$. Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del algebra lineal.

Tipos de matrices:

Matriz columna:

La matriz tiene una sola columna

Matriz Columna:

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su
dimensión m x n., siendo m el numero de filas y n el numero de columnas.

Matriz Transpuesta:

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene
cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Matriz Nula:

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada:

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas,
siendo su dimensión n x n 

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el
orden de la matriz.

Clases de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

Una matriz cuadrada es triangular superior si tiene nulos todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal, de la forma:

Ejemplo:

Matriz triangular inferior 

Una matriz cuadrada es triangular inferior si tiene nulos todos los elementos que están por encima de la diagonal principal, de la forma:

Ejemplo:

Matriz diagonal

Una matriz cuadrada es diagonal si tiene nulos todos los elementos excepto los de la diagonal principal, de la forma:

Ejemplo:

Matriz Identidad o Unidad

Una matriz cuadrada es una matriz unitaria o matriz unidad si todos los elementos en su diagonal principal son la unidad y los demás elementos son 0. Se trata de un caso particular de matriz diagonal, y se representa por I.

Ejemplo:

Operaciones con matrices:

Suma o Adicción 

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).

Propiedades de la suma de matrices 

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz 

Dada una matriz A=(aij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

kA=(k aij)

a ·  (b · A) = (a · b) · A
A  Mmxn, a, b 

a  ·  (A + B) = a · A + a · BA,B  Mmxn , a  

(a + b) · A = a · A + b · A
A  Mmxn , a, b  

1 · A = A
A  Mmxn

Producto de matrices:

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices:

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

MATRIZ INVERSA

El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A-1,a la única matriz que cumple que: 

Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El Método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.